正の数と負の数 22 文字と式(中学) 19 一次方程式 23 比例と反比例(中学) 16 平面図形(中学) 33 高校数学全般 6 実数 30 展開と因数分解 28 集合と命題 38 一次不等式 17 二次関数 99 三角比 75 データの分析 43 場合の数 … なので、

X=7,14、21,28,35 では?.

不定方程式(未知数の方が方程式の数より多い)の中で解が整数であるものの解法のうち、因数分解を用いた解き方の基本を解説しています。... プロ講師(数学/物理/化学/英語/社会)兼個別指導塾YES主宰/当サイト「スマホで学ぶサイト、スマナビング!」を運営しています。/指導中、実際に生徒が苦手意識を持っている単元について解説記事を執筆。詳細は【運営元ページ】をご覧ください。, スマナビング!は、いつ・どこでも(独学でも)資格試験(電験三種、数検、統計検定・就活のためのSPI(非言語)etc,,,)対策や、テスト勉強対策が出来るサイトです。.

上野竜生です。不定方程式の解き方を勉強します。基本パターン2つを詳しく説明し,応用パターンを軽く紹介します。基本パターン1:axy+bx+cy=dのパターンこの場合は無理やり\( …

112÷7=16 記事に対する高評価、大変嬉しいです。今後の記事作成の意欲に繋がります。, 青チャートなどの参考書を買うお金がなくても、 (3と7の最小公倍数ずつずらすしか適するものがない), この問題の答えは、シュークリームを買った個数(=X)は何通りありうるか、 ベク[…], この記事を読むと分かること ・二重根号とは何か ・二重根号の外し方や注意点 ・なぜ二重根号が外せるのか ・二重根号が外せないケース ・二重根号を外す問[…], 「2元1次方程式の解き方」の「問題1」の整数解 (の1つ) は(x,y)=(3,-1)ではなく(x,y)=(3,-2)だと思います。, 問題2は(x,y)=(5,-6), (5,-8) もありです。( (3x+2y-1,x+y+2)=(±2,±1) (複号同順) より), とても分かりやすい内容、ありがとうございます!

等式 2x+3y=33を満たす自然数x,yの組を求めよ。またそれらのうちxが2桁で最小である組を求めよ。が分かりません。検索しても合同式とかオイラーの解法とかmodとかでてきてよく分かりませんでした…高校1年生レベルで教えてくださる方御願 この式を40で割って、 }\)  (\(\color{red}{k}\):整数), \(a, b\) が互いに素であれば、\(ax + by = 1\) の整数解が必ず存在するのでした。, したがって、\(ax + by = 1\) の特殊解を \(c\) 倍してあげたものは必ず \(ax + by = c\) の特殊解になりますね。, \(51 \cdot 1 − 25 \cdot 2 = 1\) の両辺を \(19\) 倍して, \(\begin{array}{rr}&51x − 25y = 19 \\ −) &51 \cdot 19 − 25 \cdot 38 = 19 \\ \hline &51(x − 19) − 25(y − 38) = 0 \end{array}\), \(51(x − 19) = 25(y − 38)\) より、整数 \(k\) を用いて, \(\left\{\begin{array}{l}x − 19 = 25k\\y − 38 = 51k\end{array}\right.\), \(\color{red}{\left\{\begin{array}{l}x = 25k + 19\\y = 51k + 38\end{array}\right. ありがとうございます!

}\) (\(\color{red}{k}\):整数), \(ax + by = 1\) 型では、直感で特殊解を見つけられることが意外と多いです。, 不定方程式 \(92x + 197y = 1\) を満たす整数 \(x, y\) の組を求めよ。, \(92 − (197 − 92 \times 2) \times 7 = 1\), \(92 − (197 \times 7 − 92 \times 2 \times 7) = 1\), \(92 \times 15 + 197 \times (− 7) = 1\) …④, \(\begin{array}{rr}&92x + 197y = 1 \\ −) & 92 \cdot 15 + 197(−7) = 1\\ \hline &92(x − 15) + 197(y + 7) = 0 \end{array}\), \(92\) と \(197\) は互いに素なので、\(k\) を任意の整数とすると、, \(\left\{\begin{array}{l}x − 15 = 197k\\y + 7 = − 92k\end{array}\right.\), \(\color{red}{\left\{\begin{array}{l}x = 197k + 15\\y = −92k − 7\end{array}\right.

(x+y,y-1)=(4,0)or(0,4), この速度で頭を動かすと、細部に多数のミスが起こるのは当然です。畢竟するに、包含するんですよ。注意力を意識力というのが。, AI化が進むこれからの時代、青チャートのシェアをこの解説が席巻することを強く望みました。, コメントありがとうございます。 対称式の不定方程式の場合は、仮に大小関係を決めてみる。x+y+z=xyzを満たす自然数x、y、zの組を求めよ、という頻出問題で、x≦y≦zと仮定してみる。 条件と仮定により、xとyの組は3つに絞れたが、これを与式 … 2次試験対策, 基礎編・センター対策, この場合は無理やり\( axy+bx+cy=d\)を\( A(x+B)(y+C)=D \)の形に変形します。その後で,BやCがなるべく分数にならないようにAを調整するのがポイントです。具体例でみてみましょう。, このときの基本は「axy+bx+cy+d’はa:b=c:d’」だったらきれいに因数分解できるのにな・・・と思うことです。つまり\( 3xy+5x+6y+10=(x+2)(3y+5) \)と因数分解できるのに・・・と思うことです。, (x+2,3y+5)=(1,20),(2,10),(4,5),(5,4),(10,2),(20,1),(-1,-20),(-2,-10),(-4,-5),(-5,-4),(-10,-2),(-20,-1), ここからx,yを計算すれば良いですがまだ大変なので何かしぼりこめないか考えます。するとyが整数ならば3y+5は3で割って余りが2(つまり1を加えたら3の倍数)となっています。それに気づくともう1段階絞り込めて次のようになります。, (x+2,3y+5)=(1,20),(4,5),(10,2),(-2,-10),(-5,-4),(-20,-1), (x,y)=(-1,5),(2,0),(8,-1),(-4,-5),(-7,-3),(-22,-2)となります。, なぜなら(x,y)=(a,b)が解とわかれば(x,y)=(b,a)も解であることがすぐわかるからです。, (x,y)=(±4,±3),(±3,±4),(±5,0),(0,±5) (複号任意), 他の場合は最初に紹介したような”定数項を無視して因数分解”する方法ができればそれを実行します。, xが負かもしれないので2xyがどれぐらいマイナスになるかわかりません。なので先ほどのような絞り込みはいきなりはできません。なので2xyを消せるようにうまく変形したくなります。, \( x^2+2xy+\cdots \)となっているので\( (x+y)^2=x^2+2xy+y^2 \)が見えてくるでしょう。これを用いて変形してみるとうまくいきます。, \( x^2+2xy+2y^2=(x+y)^2+y^2=25 \)なので前の例題と同様にすると, (x,y)=(1,3),(7,-3),(-7,3),(-1,-3),(-1,4),(7,-4),(-7,4),(1,-4),(5,0),(-5,0),(-5,5),(5,-5), \( ax^2+bxy+cy^2+dx+ey=f \)を降べきの順に整理すると\( ax^2+(by+d)x+(cy^2+ey-f)=0 \)となります。よって解の公式を用いるとxの値が計算できます。, さらに整数になるには√が整数になる必要があるので√の中が平方数になることが必要です。条件①で絞り込んだ値を代入し,平方数になるものを探します(条件②), なお,3次式以上の場合は基本的に因数分解するしかありません。何らかの方法で因数分解できないか探しましょう。定数項は無視してもOKなのが重要ポイントとなります。, 数学はもちろん他の科目も勉強できる「スタディサプリ」なら人気講師の授業動画で、塾にいかなくてもまるで塾にいったかのような勉強ができます。塾と比較すると格安で、しかも無料おためしもできます。当サイトオススメのサイトです。, このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください。, 例題:不定方程式\( 3xy+5x+6y=10 \)を解け。つまりこれを満たす整数(x,y)の組をすべて求めよ。, ちなみにこの例で「axy+bx+cy=d」を「A(x+B)(y+C)=D」の形に変形すると, ここまで絞り込めなくても\( x^2 \leq 25\)まで絞り込めればあとは気合でも可能です。しかし,, 例:\( x^2+2xy+2y^2=25 \)を満たす整数(x,y)の組をすべて求めよ。, 上野竜生です。文系科目が平均以下なのに現役で京都大学に合格。数学を中心としたブログを書いています。よろしくお願いします。, Facebook で共有するにはクリックしてください (新しいウィンドウで開きます). }\)  (\(\color{red}{k}\):整数), \(\bf{a, b}\) が互いに素である \(\bf{\iff ax + by = 1}\) が整数解をもつ, したがって、\(a, b\) が互いに素でない場合は整数解が存在しないことがあります。, → \(2(2x + 5y) = \text{(偶数)}\) より、これを満たす整数解 \(x, y\) は存在しない, \(ax + by = 1\) かつ \(a, b\) が互いに素であるタイプは、次の手順で必ず解くことができます。, 特殊解は、直感で見つけられる場合(例題①)と、ユークリッドの互除法で見つける場合(例題②)の 2 通りがあります。, \(\begin{array}{rr}& 4x + 5y = 1\\ −) &4(−1) + 5 \cdot 1 = 1 \\ \hline &4(x + 1) + 5(y − 1) = 0 \end{array}\), \(4, −5\) は互いに素なので、\((x + 1)\) は \(−5\) の倍数、\((y − 1)\) は \(4\) の倍数である必要があります。, これを、任意の整数を用いて表現しましょう(\(k, m\) など、なんでもOK)。, \(4(x + 1) = −5(y − 1)\) より、整数 \(k\) を用いて, \(\left\{\begin{array}{l}x + 1 = −5k\\y − 1 = 4k\end{array}\right.\), \(\color{red}{\left\{\begin{array}{l}x = −5k − 1\\y = 4k + 1\end{array}\right. よって、 3X + 7Y = 112 120円のシュークリームと、280円のチーズケーキを何個か買って、合計4480円であった。 受験のお悩みが解決できるブログ, 不定方程式とは、方程式の数よりも未知数の数が多いような方程式のことです。つまり、$x,\,y$の2文字があって2つ方程式があればただの連立方程式になりますが、式が1つしかない場合には不定方程式と呼ばれ、解が無数に存在します。そこで、大学入試問題では不定方程式において解を整数解だけに限定して解を求めさせる問題が非常によく出題されます。, 入試問題で出題される不定方程式には大きく分けて、2元1次不定方程式、2元2次不定方程式(因数分解可能)、2元2次不定方程式(因数分解不可能)、3文字以上の分数の不定方程式の4パターンがあります。, 不定方程式のパターンにはもちろんもっとたくさんあるんですが、私の経験上、これ以外の不定方程式の問題が出題されているのはほとんど見たことがありません。, それぞれのパターンにおいて解法は決まりきっているので、解き方を覚えてしまえば怖いものはありません!, 大学入試では、整数問題はひらめきを必要とする難しい問題が多いです。そこで、私はひらめきのパターンに慣れるために、網羅的に整数問題を解いて学習していました。, 私が使っていたのは、この「マスターオブ整数」という参考書です!不定方程式についてはもちろん、整数問題について幅広く扱っていて、かなりおすすめできる参考書です。, 2元1次不定方程式を解くためにまず必要なのは、与えられた式を満たすような整数解をとりあえず1つ見つけることです!上の例題で言えば、, が解の1つとして見つかりますね。この作業ができれば2元1次不定方程式は解けたも同然です。, ただ、$x,\,y$の係数が大きいときや定数項が大きいときは簡単には解の1つが見つからないです。そこで、係数や定数項が大きい場合にはどのように対処すればいいかを説明します。, だった場合には、$x,\,y$の係数について以下のようにユークリッドの互除法を実行していきます。, が求まりました。このように、係数が大きいときはユークリッドの互除法を実行してからそれを逆算していくことで解の1つを求めることができます。, が見つかります。定数項が大きい場合には定数項が1のときの解を求めて、その定数倍を考えれば解の1つを求めることができます。, となります。ここで、5と7は互いに素な数なので、整数$k$を用いれば$x-3=7k$と表すことができて、これを代入すると、, 2元2次不定方程式のほとんどは( )( )=整数の形に因数分解することで、解の候補を有限個に絞ることができて、あとは1つ1つ調べれば解が求まります。普段やっている因数分解というと右辺が0になっていますが、整数問題においてはこのような因数分解のしかたがあることもあるんですね。, となりますね。よって、$3x+2y-1,\,x+y+2$はどちらも2の約数だということが分かるので、, となります。今回はどれも整数のものしか出てきたのでどちらも適していますが、整数にならない解が出てくることも多々あるので注意しましょう。, 判別式を考えるときには、$x,\,y$のうちどちらか1文字の2次方程式と見て、それが実数解を持つための条件を考えます。例えば、問題3において与えられた数式を$x$についての2次方程式と見ると、, とわかります。$y$が整数という条件も考えれば、$y=-1,\,0,\,1,\,2,\,3$の5つだけが候補になりますね!, 因数分解ができない2元2次不定方程式は、片方の文字についての2次方程式と見て、その判別式が0以上になるという条件を考えると、もう一方の文字の候補が有限個に絞られる。, 逆に、解の候補が有限個に絞られない場合はほぼ必ず因数分解ができるのに見落としてしまっている可能性が非常に高いです。, 解の候補が絞られれば、あとは代入して調べていくだけです!$x$が整数であるものを選ぶと、, となります。有限個に絞る作業を思いつくところだけが大変で、それ以外は代入してコツコツ計算していくだけなので簡単ですね。, そもそも2元2次不定方程式が因数分解ができるのかできないのかの見分け方は「2次の項だけに注目してそれが因数分解できるかどうか」になります。, 問題2では、$3x^2+5xy+2y^2$の部分が因数分解可能ですが、問題3では$x^2+2xy+2y^2$が因数分解できません。そのため、前者は因数分解による解法を採用し、後者は判別式を用いることになります。, まず、対称な不定方程式では文字の大小関係を設定します。なぜなら、不等式で候補を有限個に絞っていきたいのに、文字の大小がわからないままだと不便だからです, 次に、$x,\,y,\,z$の中で最も小さくなるように設定された文字を上から評価しにいきます。今回の設定では、$x$が一番小さな文字ですね。, が言えます。$x$が自然数であることも考えると、$x=1,\,2,\,3$の3つだけが候補になりますね!このようにして、$x$の候補を有限個に絞ることができました。, あとは、求めた候補を代入して、全く同じ作業を繰り返していくことで答えが求まります。, とわかります。最後に自分で設定した大小関係の設定を外す作業は非常に忘れやすいので気をつけましょう!, ・不定方程式には2元1次、2元2次(因数分解可能)、2元2次(因数分解不可能)、対称な3文字以上の4パターンがある, ・2元2次不定方程式は2次の部分が因数分解可能なら( )( )=整数の形に因数分解する, ・2次の部分が因数分解できなければ片方の文字についての2次方程式の判別式≧0を考える, ・対称な3文字以上の方程式は大小関係を定めて候補を有限個にして調べることを繰り返せば解ける, 家庭教師を家に呼ぶ必要はなし、なのに、家で質の高い授業を受けられるというオンライン家庭教師が最近は流行ってきています。おすすめのオンライン家庭教師サービスについて以下の記事で解説しているので興味のある方は読んでみてください。, この記事を読むとわかること ・条件付き確率とは何なのか ・条件付き確率と独立の関係 ・条件付き確率の公式による求め方 ・条件付き確率を知らないと絶対に[…], ・ベクトルの外積とは何か ・外積を求めるための公式や覚え方 ・高校数学で外積が役立つ場面 人気オンライン家庭教師サービス(上位3社) 目次 1. }\) (\(\color{red}{k}\):整数), \(axy + bx + cy + d = 0\) 型は無理やり (\(\bf{x}\) の一次式) \(\cdot\) (\(\bf{y}\) の一次式) = (定数) の形に因数分解します。, \(2xy − 2x + 3y − 8 = 0\) を満たす整数 \(x, y\) をすべて求めよ。, \((2x + 3, y − 1) \\= (−5, −1), (−1, −5), (1, 5), (5, 1)\), \(\color{red}{(x, y) = (−4, 0), (−2, −4), (−1, 6), (1, 2)}\), 二次の項 \(ax^2 + bxy + cy^2\) が因数分解できる場合、式全体を (\(x, y\) の一次式) \(\cdot\) (\(x, y\) の一次式) = (定数) の形に変形できます。, \(2x^2 + xy − 3y^2 − x + 6y − 6 = 0\) を満たす整数 \(x, y\) をすべて求めよ。, \(2x^2 + xy − 3y^2 = (2x + 3y)(x − y)\) より、, \(\begin{align}= 2x^2 + &xy − 3y^2 \\&+ (a + 2b)x + (−a + 3b)y + ab\end{align}\), \(2x + 3y − 3, x − y + 1\) は \(3\) の約数であるから、, \((2x + 3y − 3, x − y + 1) = (−3, −1)\) のとき, \(\displaystyle (x, y) = \left( −\frac{6}{5}, \frac{4}{5} \right)\) より不適, \((2x + 3y − 3, x − y + 1) = (−1, −3)\) のとき, \((2x + 3y − 3, x − y + 1) = (1, 3)\) のとき, \((2x + 3y − 3, x − y + 1) = (3, 1)\) のとき, \(\displaystyle (x, y) = \left( \frac{6}{5}, \frac{6}{5} \right)\) より不適, \(\color{red}{(x, y) = (−2, 2), (2, 0)}\), \(x^2 + 2xy + 5y^2 + 4x − 12y + 11 = 0\) を満たす整数 \(x, y\) をすべて求めよ。, \(x^2 + 2(y + 2)x + 5y^2 − 12y + 11 = 0\), \(\begin{align} \frac{D}{4} &= (y + 2)^2 − (5y^2 − 12y + 11) \\ &= y^2 + 4y + 4 − 5y^2 + 12y − 11 \\ &= −(4y^2 − 16y + 7) \\ &= −(2y − 1)(2y − 7) \end{align}\), \(D \geq 0 \iff −(2y − 1)(2y − 7) \geq 0\), よって \(\displaystyle \frac{1}{2} \leq y \leq \frac{7}{2}\) より、, \(\displaystyle x = −(y + 2) \pm \sqrt{\frac{D}{4}}\), これが整数となるには、\(\displaystyle \frac{D}{4} = 0\) または (平方数) となる必要がある。, \(\color{red}{(x, y) = (−1, 2), (−7, 2)}\), \(\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1\) を満たす自然数 \(x, y, z\) の組を求めよ。, \(\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \leq \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} = \frac{3}{x}\) より, \(y, z\) が自然数で、かつ \(x\) 以上である(と仮定した)ことに注意して、条件を満たす \(y, z\) を見つけます。, \(\displaystyle \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0\) (\(1 \leq y \leq z\)), \(\displaystyle \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{2}\) (\(2 \leq y \leq z\)), \(\displaystyle \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \leq \frac{2}{y}\) より, \(\displaystyle \frac{1}{2} \leq \frac{2}{y}\), \(y\) は \(2 \leq y\) かつ自然数であるから、\(y = 2, 3, 4\), \(\displaystyle \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{2}{3}\) (\(3 \leq y \leq z\)), \(\displaystyle \frac{2}{3} \leq \frac{2}{y}\), \(y\) は \(3 \leq y\) かつ自然数であるから、\(y = 3\), \((x, y, z) = (2, 3, 6), (2, 4, 4), (3, 3, 3)\), \(x \leq y \leq z\) は勝手に設定した条件なので、最後に解除してあげます。, したがって、\(\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1\) を満たすのは, \(\begin{align}\color{red}{= } &\color{red}{(2, 3, 6), (2, 6, 3), (3, 2, 6),}\\& \color{red}{(3, 6, 2), (6, 2, 3), (6, 3, 2),}\\& \color{red}{(2, 4, 4), (4, 2, 4), (4, 4, 2), (3, 3, 3)}\end{align}\), さまざまなパターンの不定方程式に対応するためには、整数の性質に対する深い理解と注意力が必要です。.